Qu’est-ce que le zéro ? Définition & symbolique

Le zéro est bien plus qu’un simple chiffre ou symbole : c’est un concept fondamental qui a façonné l’histoire des mathématiques et, par conséquent, l’évolution de la pensée humaine. Voici une incursion dans sa définition, ses origines et son impact sur la numération moderne.

Une définition du zéro (0) pour commencer

Le terme « zéro », qui trouve ses racines dans le mot italien « zero », est dérivé de l’expression arabe « sifr ». Cependant, le zéro transcende la simple notion d’un caractère ou d’un signe numérique. Dans le système de notation positionnelle qui sous-tend la plupart des systèmes numériques modernes, le zéro joue un rôle essentiel en signalant une position dépourvue de valeur. Mais sa signification s’étend bien au-delà : il incarne, sur le plan mathématique, l’essence même de l’absence dans une forme quantifiable et est, dans la suite des numéros intercalé entre le -1 et le chiffre 1.

Lorsque nous parlons d’un ensemble qui ne contient aucun élément, c’est le zéro qui quantifie le nombre d’éléments de cet ensemble vide. Ainsi, le zéro agit comme le fondement de l’échelle des entiers naturels, se positionnant comme le plus minime d’entre eux. Au-delà de cette caractérisation, il sert de point central dans le spectre des nombres réels, séparant harmonieusement les entités positives des négatives.

L’histoire du zéro

La trace du zéro (0) remonte à la Mésopotamie du IIIe siècle av. J.-C. Cependant, il servait principalement de marqueur de position. La véritable révolution est venue de l’Inde où, aux alentours du Ve siècle, le zéro a été reconnu non seulement comme marqueur, mais aussi comme un nombre à part entière, capable d’entrer dans des opérations mathématiques. C’est cette conceptualisation du zéro qui a été adoptée par les mathématiciens arabes, puis européens.

Il convient de mentionner ici aussi la contribution unique des Mayas qui ont développé non pas un, mais deux concepts de zéro : un zéro cardinal et un zéro ordinal.

Le zéro dans les systèmes de numération positionnels

Les systèmes de numération positionnels offrent un terrain fertile pour l’émergence du zéro en tant que chiffre. Diverses civilisations ont, en effet, mis en place ce concept à plusieurs reprises. Mais il est important de noter que le chiffre zéro n’est pas intrinsèquement nécessaire. Des civilisations notables telles que la Chine et la Mésopotamie ont fonctionné sans lui pendant des millénaires. Par exemple, la Mésopotamie avait adopté un système sexagésimal dès le XXIe siècle av. J.-C. qui ne faisait pas usage du zéro. Leur mode de notation était analogue à notre système actuel de virgule flottante, où ils n’avaient pas besoin de zéro pour indiquer l’ordre de grandeur. Ce n’est qu’au IIIe siècle av. J.-C. que le zéro a fait son apparition, et ce, principalement pour marquer un emplacement vacant dans leur système.

Les origines chinoises du zéro

Les Chinois avaient également une approche unique de la numération. Des inscriptions découvertes, datant des XIVe-XIe siècles av. J.-C., révèlent qu’ils utilisaient une numération décimale « hybride ». Bien que le zéro ait finalement été incorporé dans leur système, probablement sous l’influence babylonienne ou grecque, ce n’était pas un élément originel de leur numération.

Le 0 en Inde et son impact global

L’Inde, quant à elle, semble avoir accueilli le zéro plus tôt, au IIIe siècle ou peut-être même avant. L’un des premiers enregistrements écrits du zéro se trouve dans le manuscrit de Bakhshali. Ce zéro, en tant que concept et symbole, s’est épanoui en Inde. Le mathématicien Brahmagupta le définit dans son travail, liant le zéro à la notion de « vide ». Les Arabes ont adapté ce concept, le transmettant finalement à l’Occident, pavant la voie à sa popularisation et à son adoption.

L’ascension du zéro en Europe

L’Europe, initialement réticente à accepter le zéro, a finalement embrassé le concept, en grande partie grâce à l’influence de Leonardo Fibonacci. Après avoir voyagé et étudié les systèmes numériques de différentes cultures, il a introduit ces concepts en Europe. Son ouvrage, le Liber Abaci, a été une étape cruciale pour enseigner à l’Europe à compter sans utiliser un abaque, incorporant pleinement le 0.

Le zéro : Au-delà des mathématiques

Charles Seife, dans son ouvrage Zéro, la biographie d’une idée dangereuse, évoque l’impact transformateur du zéro. Au-delà de sa simple utilisation en mathématiques, le zéro a joué un rôle crucial dans la compréhension de divers domaines tels que la thermodynamique et la mécanique quantique. La relation entre zéro et l’infini, telle qu’explorée par des esprits tels que Newton et Leibniz, souligne son importance fondamentale dans notre quête de compréhension du cosmos.

Utilisations du 0 dans les domaines mathématiques

Le zéro est sans conteste l’une des inventions les plus profondes et les plus polyvalentes de l’histoire des mathématiques. Il agit non seulement comme un symbole pour la « non-existence » ou « l’absence », mais il a également une myriade d’applications techniques et théoriques.

Le point d’origine sur la droite réelle

Lorsque nous envisageons la droite réelle, le zéro est utilisé comme le point central à partir duquel nous mesurons tous les autres nombres. Par exemple, quand on parle de températures, le 0°C est le point de congélation de l’eau, servant de repère crucial pour définir les états d’agrégation de cette substance.

Le zéro : Élément neutre de l’addition

Dans le contexte des mathématiques, le zéro est défini comme l’élément neutre de l’addition. Cela signifie que l’ajout de zéro à n’importe quel nombre n’altère pas la valeur de ce nombre. Par exemple, 5+0=5 et le numéro cinq est ainsi non alteré. Cette propriété est vitale non seulement en mathématiques pures mais aussi dans des applications telles que la comptabilité. Prenons l’exemple des bilans financiers d’une entreprise : si une entreprise n’a ni profit ni perte, on peut dire qu’elle a un solde nul, représenté par le zéro. Plus d’informations sur sa neutralité dans la section algèbre de cet article.

Groupe abélien et son importance

Les groupes abéliens sont au cœur de l’algèbre abstraite et jouent un rôle important dans la compréhension des structures mathématiques. Ces groupes, avec leur opération bien définie et leur élément neutre, offrent une base solide pour explorer des concepts plus avancés et des applications dans divers domaines.

Définition et propriétés

Un groupe est un ensemble G associé à une opération binaire (généralement notée « + ») qui vérifie quatre propriétés fondamentales : la clôture, la présence d’un élément neutre, l’existence d’un élément inverse pour chaque élément, et l’associativité. Un groupe est dit « abélien » (ou « commutatif ») si, pour tous les éléments a et b de G, a+b=b+a.

L’élément neutre est celui qui, lorsqu’il est combiné avec n’importe quel élément de G selon l’opération binaire, laisse cet élément inchangé. Dans le contexte des groupes abéliens, cet élément neutre est souvent noté « 0 », rappelant le rôle du zéro dans les systèmes numériques habituels.

Les entiers comme groupe abélien

Considérez l’ensemble Z des nombres entiers avec l’opération d’addition. Il s’agit d’un groupe abélien car :

• La somme de deux entiers est toujours un entier (clôture) ;
• Pour chaque entier nn, l’entier −n−n est son inverse additif, car n+(−n)=0 ;
• L’addition est associative : (a+b)+c=a+(b+c) pour tous les entiers a,b, et c ;
• L’addition est commutative : a+b=b+a pour tous les entiers a et b.

L’importance des groupes abéliens

Les groupes abéliens ne se limitent pas aux entiers. De nombreux autres systèmes en mathématiques, en physique et dans d’autres disciplines forment des groupes abéliens. Par exemple, l’ensemble des vecteurs dans un espace vectoriel fixe, avec l’addition de vecteurs comme opération, forme également un groupe abélien.

De plus, les groupes abéliens sont la pierre angulaire de nombreux concepts en algèbre, tels que les anneaux, les corps et les modules. Ces structures algébriques ont des applications profondes en mathématiques, en physique théorique, en cryptographie, et même en économie.

Espaces vectoriels et zéro

Les espaces vectoriels sont au cœur de l’algèbre linéaire et sont omniprésents dans une multitude de disciplines allant des mathématiques à la physique. Au centre de ces espaces se trouve un élément essentiel : le vecteur zéro.

Définition et propriétés

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs sur lequel deux opérations sont définies : l’addition de vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un scalaire (un nombre du corps sous-jacent). Le vecteur zéro est ce vecteur unique qui, lorsqu’il est ajouté à un autre vecteur, ne modifie pas ce dernier. Mathématiquement, pour tout vecteur v de l’espace vectoriel V, nous avons v+0⃗= v.

Exemple : L’espace R^3

Considérons l’espace tridimensionnel R3, qui est l’ensemble de tous les triples ordonnés de nombres réels. Dans cet espace, le vecteur zéro est le triple (0,0,0). Si l’on prend un vecteur quelconque, disons (x,y,z), l’addition de ce vecteur avec le vecteur zéro donne le même vecteur : (x,y,z)+(0,0,0)=(x,y,z).

Application en physique

Le vecteur zéro est d’une importance fondamentale dans la description des phénomènes physiques. Par exemple, en mécanique, un objet qui n’a pas de mouvement par rapport à un observateur a une vitesse vectorielle de zéro. Si l’on considère un objet en chute libre, sa vitesse initiale, avant de commencer sa chute, serait un vecteur vitesse zéro.

Autres domaines et généralisations

Les espaces vectoriels ne sont pas limités à deux ou trois dimensions ; Ainsi, en mathématiques et en physique théorique, il est courant de travailler avec des espaces de dimensions beaucoup plus élevées, voire infinies. Dans tous ces espaces, le vecteur zéro sert de point de référence, facilitant le calcul et la compréhension des propriétés structurelles de l’espace.

Le 0 en algèbre

Dans le vaste univers des structures algébriques, le zéro occupe une place centrale, notamment dans la définition des anneaux et des corps. Ces structures sont fondamentales pour une grande variété de disciplines mathématiques, allant de l’algèbre abstraite à la théorie des nombres.

Zéro dans les anneaux

Un anneau est un ensemble équipé de deux opérations, généralement notées + et x, qui satisfait un certain nombre de propriétés, parmi lesquelles l’existence d’un élément neutre pour l’addition. Cet élément neutre est appelé « zéro de l’anneau« . Dans l’anneau des entiers, par exemple, l’élément neutre est le nombre 0, car pour tout entier n, n+0 = n (voir d’autres explications plus haut dans l’article).

Zéro dans les corps

Un corps est une structure algébrique plus sophistiquée qu’un anneau, comportant à la fois une addition et une multiplication. Tout comme dans un anneau, le corps a un élément neutre pour l’addition, et cet élément est aussi appelé « zéro du corps« . Dans le corps des nombres réels, le zéro possède cette propriété car pour tout réel r, r+0=r. De plus, le produit de zéro avec n’importe quel élément du corps donne toujours zéro.

Polynômes et le polynôme zéro

Lorsque nous nous aventurons dans l’ensemble des polynômes, le zéro se manifeste sous la forme du « polynôme zéro ». Un polynôme est une somme d’expressions de la forme anxn, où an an est un coefficient xn. Le polynôme zéro est spécial en ce que tous ses coefficients sont zéro.

Pour clarifier par un exemple : considérons l’ensemble des polynômes à coefficients réels. Un polynôme typique pourrait ressembler à 2×3−5×2+4. Le polynôme zéro, en revanche, est simplement 0. Il s’agit du polynôme qui, lorsqu’il est ajouté à n’importe quel autre polynôme, ne change pas ce dernier. De plus, lorsqu’il est multiplié par n’importe quel autre polynôme, le résultat est encore le polynôme zéro.

Le zéro dans différentes bases : L’omniprésent marqueur d’absence

Le concept de base numérique fait référence à la manière dont les nombres sont représentés à l’aide d’un certain ensemble de chiffres. La plupart d’entre nous sont familiers avec le système décimal, où dix symboles (0-9) sont utilisés. Cependant, en fonction de diverses applications, en particulier en informatique, d’autres bases sont couramment employées. Malgré ces variations, une constante demeure : le zéro. Il est le pilier sur lequel chaque base est construite, servant de repère inestimable et de représentant de l’absence.

Base 2 (Binaire)

Le système binaire, fondé sur deux chiffres (0 et 1), est la langue de base de l’informatique. Ici, le zéro prend une importance vitale. Non seulement il représente l’absence de valeur, mais dans le contexte de l’électronique, un « 0 » binaire peut indiquer un circuit éteint (absence de courant électrique). Par exemple, le nombre 1010 signifie qu’il y a une absence de valeurs aux deuxième et quatrième positions.

Base 8 (Octal)

Utilisé moins fréquemment de nos jours mais encore pertinent, notamment dans certains systèmes de programmation, l’octal emploie les chiffres de 0 à 7. Dans ce système, le zéro continue de jouer son rôle de marqueur d’absence et d’initiateur de place. Par exemple, le nombre octal 704 signifie qu’il y a absence de « dizaines » dans ce nombre.

Base 10 (Décimale)

C’est le système que nous utilisons dans notre vie quotidienne. Chaque position dans un nombre peut être remplie par des chiffres allant de 0 à 9. Le zéro indique une absence dans cette position, comme dans le nombre 2048 où il y a absence de centaines.

Base 16 (Hexadécimale)

Utilisé principalement dans les domaines de la programmation et de l’électronique, l’hexadécimal utilise les chiffres de 0 à 9, suivis des lettres de A à F. Même ici, le zéro sert à indiquer une absence. Par exemple, dans le nombre hexadécimal 2A0B, le zéro indique une absence à la troisième position.

Graphies actuelles du zéro

Sa représentation la plus familière à ce jour est le cercle. Cette graphie simple, mais puissante, en dit long sur l’histoire humaine, les échanges culturels et l’évolution des mathématiques.

L’inspiration céleste du 0

La forme circulaire du zéro est souvent associée à la voûte céleste, un espace vide et infini (voir à ce titre notre sujet aussi sur le huit). Dans de nombreuses cultures, le cercle symbolise la perfection, l’éternité, et le cycle sans fin de la vie. Le zéro, de par sa nature circulaire, est une parfaite métaphore du vide et de l’infini, et ce n’est pas une surprise qu’il ait pris cette forme, évoquant l’immensité de l’univers.

Différentes appellations autour du monde

Voici différents manières de nommer cette entité mathématique :

• Zéro : C’est le terme couramment utilisé en français, dérivé de l’italien « zero ». Le passage du mot à travers différentes cultures a légèrement modifié sa prononciation et son orthographe, mais sa racine reste reconnaissable ;
• Null : C’est le mot pour zéro en allemand. Il est aussi utilisé dans le contexte informatique pour signifier l’absence de valeur ;
• Oudén : Ce mot provient du grec ancien et signifie « rien ». Les Grecs avaient une relation complexe avec le concept de zéro, hésitant à lui donner une place complète dans leur système numérique ;
• Nihil : Ce terme latin pour « rien » a donné naissance à de nombreux mots en langues romanes, et il est étroitement lié à la philosophie et à la notion d’absence d’existence ;
• Shūnya : En sanskrit, ce mot signifie « vide ». C’est à partir de ce terme que le zéro a été introduit dans le monde des mathématiques en Inde, avant de se propager vers l’Ouest via les Arabes.

L’utilisation du zéro dans la culture moderne

Le zéro est profondément ancré dans le langage quotidien à travers diverses expressions. « Partir de zéro » évoque l’idée de commencer quelque chose de nouveau, sans préjugés ou bagages antérieurs. « Zéro faute » est une expression d’excellence, indiquant une performance sans erreurs. À l’inverse, dire de quelqu’un qu’il « vaut zéro » est une critique de sa valeur ou de ses compétences.

Les mouvements sociaux et environnementaux

L’expression « zéro déchet » a pris de l’importance ces dernières années. C’est un appel à réduire la consommation et à éliminer les déchets pour protéger l’environnement. Il en est de même pour des termes tels que « zéro émission » lié aux véhicules propres, ou « zéro carbone », qui met l’accent sur la réduction de l’empreinte carbone pour lutter contre le changement climatique.

Cinéma, musique et arts

Dans les arts, le zéro a également une présence significative. Il peut être utilisé comme un titre évocateur, comme dans le film « Patient Zéro », ou la série « Zéro Absolu ». En musique, « Zéro » est une chanson du groupe The Smashing Pumpkins, reflétant une certaine mélancolie et un sentiment de vacuité. Ces utilisations artistiques du zéro évoquent souvent des sentiments de néant, d’isolement ou, à l’inverse, de renaissance et de potentialité.

La technologie et le numérique

Avec l’avènement du numérique, le zéro, en tandem avec le un, forme la base du langage binaire utilisé dans la programmation informatique et le fonctionnement des ordinateurs. Dans ce contexte, le zéro est omniprésent et essentiel à la technologie moderne.

Le symbolisme culturel, enfin

Pour clore notre long sujet, le zéro peut aussi symboliser un nouveau départ ou une table rase et c’est le moment précis où l’on commence à compter, suggérant l’idée d’un nouveau commencement. Par conséquent, le zéro est souvent utilisé dans les campagnes de motivation ou les événements de remise en forme, indiquant le premier pas vers un changement positif sous forme de « remise à zéro ». Une manière de nous dire que tout est un éternel recommencement 🙂

R.C.