Le système binaire est un mode de représentation des nombres basé sur deux chiffres, le zéro et le 1. Il est à la base du fonctionnement des machines électroniques telles que les ordinateurs.
Définition et origines du système binaire
Le concept de système binaire remonte à bien avant l’avènement de l’informatique moderne et les anciennes cultures, telles que les Chinois avec le « Yijing » (ou « Livre des mutations »), utilisaient déjà des systèmes basés sur deux états pour la divination, il y a plus de 3000 ans. Cependant, c’est dans la mathématique et la logique que le système binaire trouve ses racines les plus profondes.
Le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz est souvent crédité de l’invention du système binaire en tant que système mathématique au 17e siècle. Bien qu’il ne soit pas le premier à explorer le concept, il est celui qui a reconnu le potentiel du système binaire en calcul et en logique. Leibniz a été inspiré par le « Yijing » chinois et a même tenté de montrer que les principes binaires pouvaient être utilisés pour représenter des concepts logiques et philosophiques.
Quelques inventeurs notables
Bien que Leibniz soit un pionnier dans le domaine, l’histoire du système binaire en informatique moderne est indissociable de figures telles que George Boole, Claude Shannon et Alan Turing :
- George Boole a développé une algèbre binaire (connue sous le nom d’algèbre booléenne) au 19e siècle. Cette algèbre est devenue la base de la logique des circuits électroniques et, par conséquent, de tout l’informatique moderne ;
- Claude Shannon a appliqué l’algèbre booléenne à la conception des circuits électriques, établissant ainsi le lien entre la logique binaire et l’électronique ;
- Alan Turing, reconnu comme l’un des pères de l’informatique, a développé le concept de machine universelle, qui est à la base de nos ordinateurs actuels. Ces machines opèrent sur des principes binaires.
Les champs d’usages
Le système binaire est omniprésent dans notre monde numérique. Voici quelques-uns de ses principaux domaines d’application :
- Les circuits électroniques : Les transistors, qui sont les composants élémentaires des microprocesseurs et des mémoires, opèrent en mode binaire (passant ou non le courant, représentant ainsi les états 0 et 1) ;
- Le stockage : Les données numériques, qu’il s’agisse de texte, d’images, de sons ou de vidéos, sont stockées sous forme binaire sur des dispositifs tels que les disques durs, les SSD, les CD et les clés USB ;
- La transmission de données : Lors de la transmission de données sur Internet ou entre dispositifs, l’information est convertie en séquences binaires ;
- Les langages de programmation : Bien que les programmeurs utilisent souvent des langages de haut niveau, ces codes sont finalement traduits en instructions binaires que l’ordinateur peut comprendre et exécuter ;
- Les opérations arithmétiques : Toutes les opérations arithmétiques réalisées par les ordinateurs sont effectuées en mode binaire.
La numération : Système décimal et système binaire
Le système décimal et le système binaire, bien que fonctionnant sur des bases différentes, partagent le même principe de fonctionnement de base : la positionnalité. C’est-à-dire que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Cette idée de positionnalité est au cœur de presque tous les systèmes numériques que nous utilisons, et elle permet d’exprimer une grande variété de valeurs avec un nombre limité de symboles.
Pour le système décimal
Le système décimal est le système numérique que la plupart des gens utilisent sans même y penser. Il est basé sur dix symboles : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Lorsque nous écrivons un nombre comme 257, ce que nous signifions réellement est :
2×1022×102 + 5×1015×101 + 7×1007×100
Soit 200+50+7=257200+50+7=257.
Pour le système binaire
À l’instar du système décimal, le système binaire est positionnel. Mais au lieu d’avoir 10 symboles, il n’en a que deux : 0 et 1. Chaque position dans un nombre binaire représente une puissance de deux. Si nous prenons le nombre binaire « 1011 », sa valeur dans le système décimal est :
1×231×23 + 0×220×22 + 1×211×21 + 1×201×20
Soit 8+0+2+1=118+0+2+1=11.
Comparaison entre les deux
Ces deux systèmes montrent comment nous pouvons exprimer une grande variété de nombres en utilisant un nombre limité de symboles. Dans le système décimal, avec seulement dix symboles, nous pouvons exprimer n’importe quel nombre, quel qu’il soit. De même, avec seulement deux symboles en binaire, nous pouvons représenter n’importe quel nombre.
La beauté du système binaire réside dans sa simplicité. Bien qu’il puisse sembler inefficace à cause de sa longueur (un nombre comme 257 nécessiterait beaucoup plus de bits en binaire qu’en décimal), cette simplicité le rend idéal pour les machines électroniques, en particulier pour les ordinateurs. Les circuits électroniques, en utilisant des transistors, peuvent facilement représenter ces deux états: ouvert/fermé, allumé/éteint, chargé/non chargé, ce qui correspond parfaitement aux valeurs binaires de 0 et 1.
Comment fonctionnent les calculs binaires ?
La simplicité du système binaire réside dans le fait qu’il n’y a que deux chiffres à considérer. Cela facilite les opérations arithmétiques :
- Addition : Si nous ajoutons deux chiffres binaires :
- 0 + 0 = 0
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10 (comme 10 en décimal signifie deux, en binaire cela signifie qu’il y a une retenue.) ;
- Multiplication : Multiplier par deux en binaire équivaut à décaler tous les chiffres d’un cran à gauche ;
- Division : Diviser par deux signifie décaler tous les chiffres d’un cran à droite.
Usage en informatique
L’informatique, telle que nous la connaissons, est intrinsèquement liée au système binaire. Tout, des simples calculs aux rendus graphiques complexes, des opérations de base de données à la navigation sur Internet, repose sur l’utilisation de bits et de la logique binaire. Voyons comment ce système est utilisé dans différents aspects de l’informatique.
Pour le stockage des données
La mémoire d’un ordinateur et les dispositifs de stockage, tels que les disques durs et les SSD, stockent les informations sous forme de séries de bits. Par exemple, un fichier image peut être représenté par une série de bits que le logiciel de traitement d’image interprète comme des pixels, des couleurs, des métadonnées, etc.
Exemple : Un simple fichier image en noir et blanc peut avoir un pixel blanc représenté par « 1 » et un pixel noir par « 0 ». Une image de 3×3 pixels pourrait ressembler à cela :
1 0 1
0 1 0
1 0 1
Le traitement des données
Les processeurs d’ordinateur, ou unités centrales de traitement (CPU), effectuent des opérations en utilisant la logique binaire. Addition, soustraction, multiplication, et autres fonctions sont effectuées en manipulant des bits.
Exemple : En utilisant la logique binaire, l’addition de deux nombres « 10 » (2 en décimal) et « 01 » (1 en décimal) donnera « 11 » (3 en décimal).
La transmission des données
Lorsque nous naviguons sur Internet, les données sont envoyées sous forme de paquets de bits. Les protocoles de communication, comme le TCP/IP, décomposent ces informations en unités binaires pour être transmises sur le réseau et ensuite reconstituées à leur destination.
Exemple : Lorsque vous visitez un site web, le texte, les images et autres contenus sont décomposés en paquets de bits, envoyés à votre ordinateur, puis reconstitués par votre navigateur pour afficher la page web.
Le codage et le cryptage
Les systèmes de codage, comme l’UTF-8 utilisé pour coder les caractères, fonctionnent en assignant une séquence binaire unique à chaque caractère. De plus, les algorithmes de cryptage transforment les données en séquences binaires qui peuvent ensuite être décryptées à l’aide d’une clé spécifique.
Exemple : Dans le codage ASCII, la lettre « A » est représentée par la séquence binaire « 01000001 ».
Les systèmes d’exploitation et logiciels
Tout logiciel, qu’il s’agisse d’un système d’exploitation, d’un jeu vidéo ou d’une application bureautique, est en fin de compte une collection d’instructions binaires que l’ordinateur peut exécuter.
Exemple : Lorsque vous lancez une application, le système d’exploitation lit les instructions binaires de cette application à partir du disque dur, les charge en mémoire et les exécute à l’aide du CPU.
Ainsi, la base de toute l’informatique moderne repose sur le système binaire, rendant possible la variété incroyable d’opérations que nos ordinateurs peuvent effectuer. La simplicité du binaire, combinée à la capacité des composants électroniques à représenter deux états distincts, a été le moteur de la révolution informatique que nous avons connue au cours du siècle dernier.
Représentation des nombres négatifs
La représentation des nombres négatifs en informatique présente un certain défi. Contrairement à notre système décimal où nous avons le concept du signe « – » pour indiquer la négativité, le système binaire n’a que des 0 et des 1. Heureusement, des techniques ont été mises au point pour contourner cette limitation.
Bit de signe
La manière la plus simple de représenter un nombre négatif est d’utiliser un bit (généralement le bit le plus significatif) pour indiquer le signe du nombre. Si ce bit est à 0, le nombre est positif ; s’il est à un, le nombre est négatif.
Exemple : Supposons que nous utilisions 8 bits pour représenter un nombre. « 0101 0101 » serait +85 en décimal, tandis que « 1101 0101 » serait -85 en décimal.
Cependant, cette méthode présente des inconvénients, notamment le fait qu’il existe deux représentations pour zéro (positive et négative).
Complément à un
Le complément à un est obtenu en inversant chaque bit du nombre. C’est-à-dire que les 0 deviennent des 1 et vice versa.
Exemple : Nombre original : 0010 1010 (42 en décimal) Complément à un : 1101 0101 (-42 en représentation complément à un).
Le complément à un présente cependant un problème : il y a toujours deux zéros (un positif et un négatif), ce qui peut compliquer les opérations arithmétiques.
Complément à deux
Le complément à deux est la méthode la plus couramment utilisée pour représenter les nombres négatifs en binaire dans les ordinateurs modernes. Il est obtenu en prenant le complément à un du nombre et en ajoutant 1 au résultat.
Exemple : Nombre original : 0010 1010 (42 en décimal) Complément à un : 1101 0101 Ajout de 1 : 1101 0110 (-42 en représentation complément à deux).
L’avantage du complément à deux est qu’il n’y a qu’une seule représentation pour zéro, et les opérations arithmétiques peuvent être effectuées sans se soucier du signe du nombre.
Conversion entre bases
La conversion entre différentes bases numériques est une opération fondamentale en informatique. Étant donné que le système binaire est au cœur de l’électronique numérique, il est souvent nécessaire de convertir entre le binaire et d’autres systèmes numériques, tels que l’octal (base 8) et l’hexadécimal (base 16).
Du binaire à l’octal
Pour convertir un nombre binaire en octal, on regroupe les chiffres binaires par trois, en commençant par la droite (bit le moins significatif). Chaque groupe correspond ensuite à un chiffre unique en octal.
Exemple :
Prenons le nombre binaire : 110101110
Regroupement par trois : 110, 101, 110
Conversion en octal : 6, 5, 6
Résultat : Le nombre binaire 110101110 est équivalent au nombre octal 656.
Du binaire à l’hexadécimal
La conversion du binaire à l’hexadécimal suit une logique similaire, mais les chiffres binaires sont regroupés par quatre. Chaque groupe de quatre chiffres binaires correspond à un chiffre hexadécimal.
Exemple :
Prenons le nombre binaire : 101001011101
Regroupement par quatre : 1010, 0101, 1101
Conversion en hexadécimal : A, 5, D
Résultat : Le nombre binaire 101001011101 est équivalent au nombre hexadécimal A5D.
Conversion entre l’octal et l’hexadécimal
Bien que cela soit moins courant, vous pouvez également convertir directement entre l’octal et l’hexadécimal en passant d’abord par le binaire comme intermédiaire.
En conclusion de cet article, la conversion entre le binaire, l’octal et l’hexadécimal est simplifiée par le fait que ces bases sont des puissances de deux. Cette propriété permet de regrouper les chiffres binaires en groupes cohérents qui peuvent ensuite être traduits directement dans la nouvelle base. Ces techniques de conversion sont essentielles pour les programmeurs, les ingénieurs et quiconque travaille avec des systèmes numériques.
R.C.
