Qu'est-ce que l'algèbre ? Définition, histoire et applications

L'algèbre est la branche des mathématiques qui apprend à calculer avec des quantités inconnues ou générales, représentées par des lettres, plutôt qu'avec des nombres connus d'avance. Pour beaucoup, le mot réveille des souvenirs de collège faits de x et de y, d'équations à résoudre et de parenthèses à développer, mais il désigne en réalité un outil d'une portée immense. Là où l'arithmétique se contente de constater que deux plus trois font cinq, l'algèbre cherche les règles générales qui valent pour tous les nombres et sait retrouver une valeur cachée à partir de ce que l'on connaît d'elle. Née dans le monde savant de langue arabe au Moyen Âge, enrichie en Europe à la Renaissance puis profondément transformée au XIXe siècle, elle irrigue aujourd'hui toutes les sciences, de la physique à l'économie, et fait tourner sans qu'on y pense les logiciels de nos téléphones. Au sein de les mathématiques, elle occupe une place centrale aux côtés de la géométrie et de l'analyse, avec lesquelles elle dialogue constamment. Cette définition revient sur le sens du mot, sur son étymologie arabe, sur les grandes étapes de son histoire, sur les principaux types d'équations et sur les usages très concrets de l'algèbre moderne, jusqu'à ses formes les plus abstraites.

Qu'est-ce que l'algèbre ? Définition simple

Dans sa définition la plus simple, l'algèbre est l'art de manipuler des expressions avec des lettres selon des règles précises, afin de résoudre des problèmes ou d'exprimer des relations entre des grandeurs. Une lettre, appelée variable ou inconnue selon le contexte, tient la place d'un nombre que l'on ne connaît pas encore ou qui peut changer. L'égalité x + 3 = 5 est ainsi une équation : elle affirme qu'un certain nombre, augmenté de trois, donne cinq, et le travail algébrique consiste à transformer cette égalité, sans jamais la rendre fausse, jusqu'à isoler l'inconnue. On retire trois de chaque côté et l'on obtient x = 2. L'image la plus parlante est celle d'une balance à deux plateaux : tant que l'on fait exactement la même opération des deux côtés, l'équilibre est conservé. Cette idée toute simple contient déjà l'essentiel de la méthode. Au-delà des équations, l'algèbre étudie les expressions (comme 2x − 3), les identités vraies pour toutes les valeurs (comme (a + b)² = a² + 2ab + b²), les fonctions polynomiales et, à un niveau supérieur, les structures qui organisent les opérations elles-mêmes. Le mot désigne donc à la fois une technique scolaire et un vaste domaine de recherche.

De l'arithmétique à l'algèbre : un exemple concret

Le passage de l'arithmétique à l'algèbre marque souvent, dans la scolarité, le moment où les mathématiques deviennent plus abstraites. Imaginons une boîte contenant un nombre inconnu de bonbons, que l'on note x, et un ami qui en possède deux fois plus que vous, moins trois. On peut écrire la relation générale y = 2x − 3, où y désigne le nombre de bonbons de l'ami. Cette petite formule dit beaucoup plus qu'un calcul isolé : elle vaut pour toutes les valeurs possibles et permet de répondre instantanément à n'importe quelle question du même type. Si l'ami a 11 bonbons, il suffit de réarranger l'équation pour isoler x, ce qui donne x = (y + 3) / 2, soit 7 bonbons pour vous. Ce jeu de transformations (faire passer un terme de l'autre côté, factoriser, développer) est le cœur du savoir-faire algébrique et permet de modéliser des situations réelles sans refaire tout le raisonnement à chaque fois. C'est cette capacité à raisonner sur le général plutôt que sur le particulier qui fait de l'algèbre un langage et pas seulement une collection de recettes de calcul.

D'où vient le mot « algèbre » ? Al-Khwarizmi et al-jabr

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr, terme qui évoque l'idée de remettre en place, de restaurer ou de réduire, au sens où l'on réduit une fracture (le mot a d'ailleurs longtemps désigné aussi, en espagnol et en portugais, le métier de rebouteux). On le doit au savant persan Muhammad al-Khwarizmi, qui travaillait à Bagdad au IXe siècle dans le grand foyer intellectuel que l'on appelle la Maison de la sagesse. Son traité, connu sous le titre abrégé Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, que l'on traduit approximativement par « Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison », expose de manière systématique la résolution des équations du premier et du second degré. Fait remarquable, il ne contient aucun symbole : tout y est écrit en mots et illustré par des figures géométriques. Traduit en latin au XIIe siècle, l'ouvrage a donné son nom à toute la discipline. Le nom d'al-Khwarizmi lui-même a survécu sous une autre forme, puisqu'il est à l'origine du mot algorithme, passé par le latin médiéval algorismus, qui désignait d'abord le calcul avec les chiffres indo-arabes. Les deux mots les plus importants du vocabulaire du calcul moderne portent donc la trace d'un même savant de Bagdad.

Al-jabr et al-muqabala : les deux gestes fondateurs

Le titre du traité d'al-Khwarizmi décrit précisément les deux opérations qui permettent de ramener une équation à une forme simple. L'al-jabr, la restauration, consiste à faire disparaître les termes soustraits en ajoutant la même quantité des deux côtés : une égalité où l'on retranche quelque chose d'un côté est « restaurée » pour ne plus contenir que des termes positifs. L'al-muqabala, la comparaison ou mise en balance, consiste ensuite à supprimer les termes semblables présents de part et d'autre de l'égalité. Ces deux gestes correspondent exactement à ce que l'on enseigne aujourd'hui sous la forme « on fait passer de l'autre côté » ou « on simplifie des deux côtés ». Al-Khwarizmi classait les équations en six formes types, car les nombres négatifs n'étaient pas encore admis comme solutions, et il donnait pour chacune une méthode de résolution accompagnée d'une justification géométrique, comme la célèbre complétion du carré pour les équations du second degré. Il ne partait pas de rien : les Babyloniens savaient déjà résoudre certains problèmes équivalents, les Grecs, notamment Diophante d'Alexandrie, avaient étudié des équations, et les mathématiciens indiens comme Brahmagupta avaient fait progresser le calcul. Mais son exposé clair et général a fait de l'algèbre une discipline à part entière.

Comment l'algèbre a-t-elle évolué ? Les grandes étapes

Après al-Khwarizmi, l'algèbre a continué de progresser dans le monde arabo-persan, avec des savants comme Omar Khayyam, qui étudia géométriquement les équations du troisième degré. Elle a gagné l'Europe par les traductions latines réalisées notamment en Espagne, puis par l'Italie, où le marchand et mathématicien Leonardo Fibonacci diffusa au début du XIIIe siècle les chiffres indo-arabes et les méthodes de calcul venues d'Orient. À la Renaissance, les algébristes italiens, parmi lesquels Tartaglia, Cardan et Ferrari, réussirent l'exploit de résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, dans un climat de défis publics et de querelles de priorité restées célèbres. C'est aussi à cette époque que les nombres négatifs, puis les nombres dits imaginaires, commencèrent timidement à être manipulés. La grande révolution suivante fut celle des notations : pendant des siècles, les équations s'écrivaient en phrases ou à l'aide d'abréviations, et il fallut attendre la fin du XVIe siècle pour voir apparaître une algèbre symbolique moderne. Enfin, au XIXe siècle, la question de la résolution des équations de degré cinq et plus conduisit à une transformation profonde de la discipline, qui se tourna vers l'étude des structures plutôt que vers le seul calcul.

Viète et Descartes : l'algèbre des lettres et des courbes

Le Français François Viète, juriste au service d'Henri III puis d'Henri IV, eut l'idée décisive, à la fin du XVIe siècle, de désigner systématiquement par des lettres non seulement les inconnues mais aussi les quantités connues, pour traiter d'un coup toute une famille de problèmes. Il utilisait des voyelles pour les inconnues et des consonnes pour les données, une convention que René Descartes remplaça dans sa Géométrie, publiée en 1637, par celle que nous employons encore : les dernières lettres de l'alphabet (x, y, z) pour les inconnues, les premières (a, b, c) pour les constantes. Descartes accomplit surtout une fusion spectaculaire entre algèbre et géométrie : grâce à un système de coordonnées, une droite devient une équation du type y = mx + p, un cercle une autre équation. C'est la naissance de la géométrie analytique. Avec le signe égal, proposé au XVIe siècle par l'Anglais Robert Recorde, ces notations ont fait de l'algèbre un langage compact et universel.

Les équations en algèbre : linéaires, quadratiques, cubiques

Une grande partie de l'algèbre élémentaire consiste à résoudre des équations polynomiales, que l'on classe selon leur degré, c'est-à-dire la plus haute puissance de l'inconnue qui y figure. Les équations du premier degré, dites linéaires, de forme ax + b = 0 avec a non nul, ont toujours une solution unique, x = −b/a, et se représentent par une droite. Les équations du second degré, ou quadratiques, de forme ax² + bx + c = 0, correspondent à une parabole ; leur nombre de solutions réelles dépend du signe du discriminant Δ = b² − 4ac : deux solutions s'il est positif, une seule s'il est nul, aucune solution réelle s'il est négatif. Les équations du troisième degré, ou cubiques, admettent une, deux ou trois solutions réelles distinctes et toujours au moins une, ce que l'on voit sur leur courbe qui finit par traverser l'axe horizontal. Pour les degrés trois et quatre, il existe des formules générales, célèbres mais lourdes. Pour le degré cinq et au-delà, les travaux d'Abel et de Galois ont montré qu'aucune formule générale utilisant seulement les quatre opérations et des racines ne peut exister, ce qui n'empêche pas de trouver des solutions approchées aussi précises que l'on veut par des méthodes numériques. Le tableau suivant résume ces familles d'équations.

Les suites remarquables de l'algèbre : Fibonacci et ses cousines

L'algèbre s'intéresse aussi aux suites définies par récurrence, dans lesquelles chaque terme se calcule à partir des précédents selon une règle fixe. La plus célèbre est la suite de Fibonacci, où chaque nombre est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Fibonacci l'avait présentée à travers un problème de lapins dont la population croît mois après mois, et le rapport entre deux termes consécutifs se rapproche du nombre d'or, environ 1,618. On la retrouve dans la disposition des graines de tournesol. La suite de Lucas obéit à la même règle mais commence par 2 et 1, ce qui donne 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18… La suite de Pell double le terme précédent avant d'ajouter l'avant-dernier (0, 1, 2, 5, 12, 29…), et ses termes servent à approcher la racine carrée de deux. La suite de Padovan additionne le deuxième et le troisième terme précédents (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9…), tandis que la suite de Narayana, issue d'un problème de vaches posé par un mathématicien indien, additionne le terme précédent et celui situé trois rangs avant (1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13…). Ces suites montrent qu'une règle très simple peut engendrer des comportements riches.

À quoi sert l'algèbre aujourd'hui ? De l'algèbre abstraite aux applications

Au XIXe siècle, la question de savoir pourquoi certaines équations résistent à toute formule a conduit le jeune Évariste Galois à étudier non plus les solutions elles-mêmes mais la manière dont on peut les permuter, ce qui a fait naître la notion de groupe. Ce fut le point de départ de l'algèbre abstraite, qui étudie des ensembles munis d'opérations obéissant à certaines règles, indépendamment de la nature des objets. Un groupe est un ensemble doté d'une opération associative, d'un élément neutre et d'un inverse pour chaque élément, comme les entiers avec l'addition ou les rotations d'un cube. Un anneau ajoute une seconde opération, à la manière de l'addition et de la multiplication des entiers, et un corps est un anneau dans lequel on peut diviser par tout élément non nul, comme les nombres rationnels ou réels. L'algèbre linéaire, qui étudie les vecteurs, les matrices et les systèmes d'équations à plusieurs inconnues, s'est développée parallèlement et constitue aujourd'hui l'un des outils les plus utilisés de toute la science. Loin d'être un jeu gratuit, ce niveau d'abstraction permet de démontrer d'un seul coup des résultats valables pour une multitude de situations différentes, de la symétrie des cristaux à la classification des particules élémentaires.

L'algèbre au quotidien : sciences, ingénierie, informatique

Les applications concrètes de l'algèbre sont si nombreuses qu'on finit par ne plus les voir. En physique, les lois de la nature s'écrivent sous forme d'équations, de la chute d'un objet à la mécanique quantique, où les états des particules sont décrits par des vecteurs et des opérateurs d'algèbre linéaire. En ingénierie, le calcul des efforts dans un pont ou un immeuble revient à résoudre de grands systèmes d'équations, confiés aujourd'hui à des ordinateurs. L'informatique repose à son tour sur l'algèbre à plusieurs niveaux : l'algèbre de Boole, qui manipule le vrai et le faux, est le fondement des circuits électroniques, les images en trois dimensions des jeux vidéo sont calculées à l'aide de matrices, et l'apprentissage automatique des intelligences artificielles consiste pour l'essentiel à multiplier d'immenses tableaux de nombres. La cryptographie qui protège nos paiements en ligne exploite les propriétés des groupes et des corps finis, et les codes correcteurs d'erreurs qui permettent de lire un disque rayé ou de recevoir des images d'une sonde spatiale reposent sur des structures algébriques. Les économistes, enfin, modélisent l'offre, la demande ou les flux entre secteurs avec des équations et des matrices, et les statisticiens s'appuient sur l'algèbre linéaire pour analyser des données, en lien étroit avec les probabilités, autre domaine où le calcul littéral rend possible le raisonnement sur l'incertain.